二次方程求根公式 一元一二次方程怎么解

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一般4次方程，是可以给出根式解的最高次数的方程。

5次及以上的方程没有根式解。

4次方程 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，也可以用 x = y - a/4换元，化简成不含3次项的方程。

所以，实际要解的4次方程是y^4 + py^2 + qy + r = 0.

如果是3次方程用x = y - a/3化简，去掉2次项之后剩下3次项、1次项和常数项。

如果是2次方程用x = y - a/2化简，去掉1次项之后，只剩下了2次项和常数项，直接开平方就解出来了。

如果是1次方程，直接用加法和乘法就可以解出来了，它本身就是有理数域上的线性运算。

所以，次数越高越复杂，因为未知数的多个幂次是混杂在一起的，没法直接开方。

高次方程要想求解，必须降低未知数的次数。

只是通过未知数与根的差的连乘积升高次数很容易，但降回去就费劲了。

(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0，

展开它就可以获得一个4次方程，但想把它再因式分解，就不那么容易了。

因为展开之后，再合并同类项，根的信息已经被抹掉了。

再想把根解出来，不得不依赖从根合成系数时的对称性。

1，4次方程的韦达定理，

还是按照惯例，用x表示未知数。

1）把 (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0 展开，

2）与去掉了3次项的 x^4 + px^2 + qx + r = 0 比较，

3）就可以得到韦达定理：

可以看出，系数都是根的对称合成。

根在合成系数时的对称性，用Sn对称群表示。

对称群的作用就是改变根的下标次序，而下标次序就是数字1,2,3,4, ..., n之间的置换关系。

方程要想有求根公式，它的根在合成系数时的Sn对称群必须是可解的。

S4对称群，是最后1个可解的Sn对称群。

（S5对称群不可解，所以5次方程没有求根公式）

2，S4对称群与根的合成，

S4对称群和它的子群

如上图，S4的可解链是：S4->A4->V4->e.

根据伽罗瓦对应，域的扩张链是：Q->Ka->Kv->F。

1）方程的4个根 x1, x2, x3, x4 在方程的分裂域F上，

2）跟3次方程类似，这4个根经过一个线性方程组的变换之后，获得一组数。

然后这组数的高次表达式是域Kv里的元素，它们不会被V4群（改变根的次序时）所改变。

3）然后，在Kv上再经过一个线性的合成，和高次表达式的合成，变成域Ka里的元素。

它们不会被A4交错群改变，所以判别式的平方根位于域Ka上。

4）因为判别式是根的差的连乘积的平方，所以从Q到Ka是判别式的2次扩张。

判别式：

它的平方根：

4次方程的根的合成与S4对称群

3，4次方程的求根公式，

群V4，除了单位元e之外只有3个元素：(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(3 2)。

x1, x2, x3, x4之间的线性表达式，其中一个是方程的3次项的系数：

x1 + x2 + x3 + x4 = 0.

另外3个可以按1的4次方根去合成，1, i, -1, -i，然后去找它们对V4不变的表达式。

但是，这3个表达式都对V4不变，如下：

u = (x1+x2)(x3+x4)，

v = (x1+x3)(x2+x4)，

w = (x1+x4)(x2+x3)，

它们都是根的线性表达式合成的高次表达式[呲牙]

它们是如下的3次方程的3个根：

(X - u)(X - v)(X - w) = X^3 -(u + v + w)X +(uv + uw + vw)X - uvw = 0.

展开x1, x2, x3, x4之后，可以用原4次方程的系数把它们表达出来。

具体的表示过程比较复杂，怎么用系数表示根的对称多项式，这里还有个牛顿公式呢。

数学上真是到处都有牛顿[捂脸]

（有兴趣的可以去看看，牛顿的又一个成就）

我这里直接给结果了，如下：

之前的文章里说过，3次方程的求解可以用卡尔达诺公式。

先换元消去2次项，然后转化成一个2次方程的求根，再开3次方，最后用1的3次复数根去组合出方程的根。

解出u, v, w之后就比较简单了，因为还有x1+x2+x3+x4 = 0呢：

所以，u, v, w和它都可以组合出3个2次方程来！

(x1+x2)+(x3+x4) = 0, (x1+x2)(x3+x4) = u，

这就是2次方程 X^2 + u = 0 的韦达定理，所以：

另外两个也一样：

这6个里随意挑4个，组成线性方程组，就可以解出来了。