有家长提问——

4个自然数构成公差不为0的等差数串，请问这四个数能否组成一个比例？

【思路】

1. 为方便描述，不妨设这4个自然数为a,b,c,d，它们的公差设为m，m＞0，且a＜b＜c＜d；
2. 假设可以组成形如“():()=():()”的比例，根据比例性质，必有外项积等于内项积[1]；
3. 如果能证明所有可能的外项积[2]都无法等于内项积，即说明这4个数不能组成一个比例.

【步骤】

6种可能的外项积均无法满足比例的性质

【详解】

1. 为方便描述，不妨设这4个自然数为a,b,c,d，它们的公差设为m，m＞0，且a＜b＜c＜d；
2. 假设可以组成形如“():()=():()”的比例，根据比例性质，必有两个外项相乘等于两个内项相乘；
3. 从a,b,c,d中选出2个(无需考虑顺序)作为外项，有C(4)(2)即6种选择，它们分别是——a和b，a和c，a和d，b和c，b和d，c和d；
4. 我们把“a和b作为外项”与“c和d作为外项”视为“一类情况”，因为该类情况都须满足——a×b与c×d相等，但由于a＜c且b＜d，所以a×b一定小于c×d，无法让外项积等于内项积，因此“一类情况”不可能组成比例；
5. 我们把“a和c作为外项”与“b和d作为外项”视为“二类情况”，因为该类情况都须满足——a×c与b×d相等，但由于a＜b且c＜d，所以a×c一定小于b×d，无法让外项积等于内项积，因此“二类情况”不可能组成比例；
6. 我们把“a和d作为外项”与“b和c作为外项”视为“三类情况”，因为该类情况都须满足——a×d与b×c相等，由于a+d=a+(a+3m)=2a+3m，又由于b+c=(a+m)+(a+2m)=2a+3m，所以a+d=b+c即和为定值，根据最值原理“和定差小积大”[3]，因为a与d相差3个公差m，而b与c只相差1个公差m，所以a×d一定小于b×c，无法让外项积等于内项积，因此“三类情况”不可能组成比例；
7. 综上所述，a,b,c,d在所有情况下都无法组成比例，我们的结论就是：构成公差不为0的等差数串的4个自然数不能组成一个比例.

【应用】

哥哥今年20岁，弟弟今年10岁，所以今年哥哥年龄是弟弟的2倍，那么20年后，哥哥年龄还是弟弟的2倍吗？

解：

方法一、20年后，哥哥40岁，弟弟30岁，哥哥与弟弟的年龄之比为40:30，比值为4/3，并非2，所以20年后哥哥年龄不是弟弟的2倍.

方法二、这道题20年后以及现在的年龄构成了等差数串：40,30,20,10，而我们前面已经知道——“构成公差不为0的等差数串的4个自然数不能组成一个比例”，即40:30≠20:10，所以20年后哥哥的年龄不是弟弟的2倍.

参考

1. ^比例是“两个比相等的式子”，例如比例“2:3=4:6”，2、3、4、6都叫做比例的项，其中2、6是比例的两个外项，3、4是比例的两个内项，并且2×6=3×4，这就是比例的性质：两个外项的乘积等于两个内项的乘积.
2. ^从a,b,c,d中选2个出来作为外项，无需考虑顺序，因为假如选出了a和b，无论是先a后b还是先b后a，外项积都是ab.
3. ^两个正数的和是固定值，当这两个数的差距越来越小时，它们的乘积越来越大，特别地，当两个数相等时，乘积最大.