对数函数y=ln(1/2+x^2/3)的性质及其图像

主要内容：

本文主要介绍函数的y=ln(1/2+x^2/3)的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等性质，并通过导数计算函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

※.函数的定义域

根据函数特征，1/2+x^2/3>0，所以函数y=ln(1/2+x^2/3)的定义域为全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。

※.函数的单调性

因为函数y1=lnx在定义域上为增函数，函数y2=1/2+x^2/3为二次函数，当x>0时为增函数，当x<0时为减函数，所以二者的复合函数y=ln(1/2+x^2/3)的单调性与函数y2的函数单调性一致。

本题还可以通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下。

y=ln(1/2+x^2/3)，对x求导，有：

dy/dx=(2*x/3)/(1/2+x^2/3)

=4x/(2x^2+3)=4x/(2x^2+3)，可知：

(1)当x∈(-∞，0]时，dy/dx<0，此时函数为减函数；

(2)当x∈[0，+∞)时，dy/dx>0，此时函数为增函数。

※.函数的凸凹性

对dy/dx=4x/(2x^2+3)继续求导数，有：

d^2y/dx^2=4*(2x^2+3-x*2*2x)/(2x^2+3)^2,

=-2*(2x^2-3)/(2x^2+3)^2.

令d^2y/dx^2=0，则2x^2-3=0，求出x=±(1/2)√6，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈[-(1/2)√6,(1/2)√6]时，d^2y/dx^2>0，函数为凹函数；

(2)当x∈(-∞，-(1/2)√6∪((1/2)√6,+∞)时，d^2y/dx^2<0，函数为凸函数.

※.函数的奇偶性

∵f(x)=ln(1/2+x^2/3);

∴f(-x)=ln[1/2+(-x)^2/3]=ln(1/2+x^2/3)=f(x),

即函数f(x)为偶函数。

※.函数的极限

Lim(x→-∞) ln(1/2+x^2/3)=+∞；

Lim(x→+∞) ln(1/2+x^2/3)=+∞；

※.函数的示意图