根与系数的关系 根和系数的关系练习题

数姐有话

一元二次方程中跟与系数的关系，是中考的一个难点，在未来高中阶段，也是一个常考的点，所以，同学们在初学这块内容时，要多多研究透彻！

知识点睛

1根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到

，显然只有当

时，才能直接开平方得：

．

也就是说，一元二次方程

只有当系数a、b、c满足条件

时才有实数根．这里

叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程

的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是否有实数根)由

确定．

判别式：设一元二次方程为

，其根的判别式为：

则

①

方程

有两个不相等的实数根

．

②

方程

有两个相等的实数根

．

③

方程

没有实数根．

若a、b、c 为有理数，且Δ为完全平方式，则方程的解为有理根；若Δ为完全平方式，同时

是2a的整数倍，则方程的根为整数根．

说明:Update

(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0;有两个相等的实数根时，Δ=0;没有实数根时，Δ<0.

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式

判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当

=0时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．

① 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；

② 当a<0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点．

3.一元二次方程的根的判别式的应用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

2韦达定理

如果一元二次方程

的两根为

那么，就有

比较等式两边对应项的系数，得

①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

因此，给定一元二次方程

就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数

满足①与②，那么这两数

必是一个一元二次方程

的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．

利用根与系数的关系，我们可以不求方程

的根，而知其根的正、负性．

在

的条件下，我们有如下结论：

当

时，方程的两根必一正一负．若

，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若

，则此方程的正根小于负根的绝对值．

当

时，方程的两根同正或同负．若

，则此方程的两根均为正根；若

，则此方程的两根均为负根．

⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：

①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；

③已知方程的两根，求作方程；

④结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的Δ．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．

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