在下面的链接http://m.toutiao.com/origin/is/DFxHhE9/ - 名家讲座：不等式的性质和证明及解法附应用与研究题(八年级难点) -

有一道很有意思的研究题，我们来看看。

题目呈现：

14. 在离开地面7米高的一点，用73.5米/秒的初速度把物体依垂直于地面的方向抛到上空，这物体能达到的最大高度是多少？在抛出多少时间后达到这个高度？

提示 在离地a米的高处用b米/秒的初速度把物体垂直上抛，t秒后物体的高度是

h=a+bt-?gt2，其中的g等于9.8米/秒2。

这道研究题在许莼舫先生的书中有提示和答案，没有解题过程。现在我们来探究本题的两种解法。

先讨论第一种解法，数学老师的解法。

抛物线顶点法

根据题目的提示，本题实际就是求二次函数

y=-4.9x2+73.5x+7

的（图像是抛物线）顶点坐标。由上面的解析式可知，因为a<0，所以函数图像的抛物线开口向下，求出顶点坐标后，就知道当x取何值时，此函数有最大值。

这个抛物线顶点坐标(x，y)的意义：

x就是本题所求的时间t，y就是本题所求的最大高度h。

怎么求这个二次函数图像的顶点坐标呢？我们需要把

y=ax2+bx+c(一般式)化为

y=a(x+m)2+k(顶点式)

的形式。抛物线的顶点坐标是(-m，k)，抛物线的对称轴是直线x=-m。

我们把y=a(x+m)2+k变形为

y=a(x2+2mx+m2)+k......①

把数据代入①式得

y=-4.9(x2+2mx+m2)+k

=-4.9x2-9.8mx-4.9m2+k......②

由题意得

y=-4.9x2+73.5x+7......③

由②、③两式可得

-9.8m=73.5

所以，m=-7.5

又由②、③两式可得

-4.9m2+k=7

把m=-7.5代入上式可得

k=282.625

也就是说y=-4.9x2+73.5x+7可以化为y=-4.9(x-7.5)2+282.625的形式，

所以，顶点坐标是(7.5，282.625)。

答：在抛出7.5秒后，物体达到最大高度282.625米。

这条抛物线的图像请看下图。

微软数学绘制的图形

如果觉得麻烦，可以按照下图所示直接写出顶点的坐标(x，y)：

二次函数的顶点坐标

接下来，请看物理老师的解法。我想，物理老师可能会用运动公式来解答。

自由落体运动公式法

我们可以设物体在A点抛出，达到最高点B，再从B点做自由落体运动，经过点A后落到地面上的C点。

从A到B物体做竖直上抛运动，从B到A再到C是自由落体运动。竖直上抛运动是匀减速直线运动，加速度是-g，而自由落体运动是匀加速直线运动，加速度是g。而且这两个运动具有对称性，物体从A到B，速度从73.5米/秒降到零，从B到A，速度从零增加到73.5米/秒。

根据对称性，可以用自由落体运动公式解答本题。先看下图所示的常用公式。

自由落体运动常用公式

根据公式v=gt，代入数据得：

73.5=9.8t，所以有

t=7.5(秒)

再把上面的结果代入公式：

h=?gt2

即得

h=4.9×7.52=275.625(米)

因为题目所求的最大高度是指BC的高度，即最高点距离地面的高度，所以有

BC=BA+AC

=275.625+7=282.625(米)

答：在抛出7.5秒后，物体达到最大高度282.625米。

特别收录

关于自由落体运动，你需要知道下面的知识。

1. 伽利略发现自由落体运动隐藏着奇数的奥秘

自由落体定律( Law of Free Fall )。它还有一个在经验世界可供检验的推论：从静止开始，任意相邻相等时间间隔内的运动距离之比为1:3:5:7:9.....．恰好构成一个奇数列——这是一个毕达哥拉斯式的发现。

匀加速直线运动的几何描述示意图

对一个从静止开始的匀加速直线运动，直角三角形的两条直角边分别表示时间 t 和末速度 v , v 与 t 成正比，即 v = at ，比例系数 a 定义为加速度。矩形的面积表示物体以末速度 v 在时间t内做匀速直线运动的距离，即 vt ，而直角三角形的面积表示这段匀加速直线运动的距离，可以表示为这段匀加速直线运动的平均速度 υ 与经过时间 t 的乘积 υt 。从直角三角形的面积是矩形面积的一半可以推导出平均速度是末速度的一半，平均速度 υ 的几何意义正好是直角边 v 所对应的中位线。