双十字相乘法 十字相乘法公式技巧

‘分组分解法的核心是分组后，有公因式可提，也就是能够进行下一步的分解，就像下象棋一样，走一步看三步，要有前瞻性。这就要求解题时仔细分析题目特征，比如按正负号分组。寻找公式模型，构造公式。有时根据要求要适当的进行拆项和补项。 归纳起来有下面几种：

|题型一、看系数分组；

X^5一X^4一2X^3+2X^2+X一1

=X^4(X一1)一2X^2(X一1)+(X一1)

=(X一1)(Ⅹ^4一2X^2+1)

=(X一1)(X^2一1)^2

=(X一1)^3(X+1)^2

思路探寻：显然含有系数2和一2的分成一组，另四项分成两组，都含有因式(X一1)，可进行下一步了。

题型二、看次数分组；

X^3+X^2+X一y^3一y^2一y

=(X^3一y^3)+(X^2一y^2)+(X一y)

=(X一y)(X^2+Xy+y^2)+(X一y)(X+y)+(X一y)

=(X一y)(X^2+Xy+y^2+X+y+1)

思路探寻：按3次、2次、1次分成3组，每组可以用公式，并且含有因式(X一y)可提；也可以说是按公式分组。

题型三、看字母分组

aX+ay一bX一by

=a(X+y)一b(Ⅹ+y) 分组后提公因式

=(X+y)(a一b)

另解：aX+ay一bX一by

=(a一b)X+(a一b)y

=(a一b)(Ⅹ+y)

思路探寻：这是一道经典题，可按X、y分组，也可按a、b分组。

题型四、看公式分组

X^2一9一4Ⅹy+4y^2

=X^2一4Xy+4y^2一9

=(X一2y)^2一9

=(X一2y+3)(X一2y一3)

思路探寻：本题很容易把前两项分成一组，又有公式可用，但后面两项结合，就不能进行下去了。只能重新分组。

题型五、整体结合后分组

(X^2一5X)(X^2一5X一2)一24

=(X^2一5Ⅹ)^2一2(X^2一5X)一24

=(X^2一5X一6)(X^2一5Ⅹ+4)

=(X一6)(X+1)(X一1)(X一4)

思路探寻：

把X^2一5X看作一个整体，化为二次三项式，用十字相乘法分解。

题型六、展开后再分组

(aX+by)^2+(bX一ay)^2

=a^2X^2+b^2y^2+b^2X^2+a^2y^2

=(a^2X^2+a^2y^2)+(b^2y^2+b^2Ⅹ^2)

=a^2(X^2+y^2)+b^2(y^2+X^2)

=(X^2+y^2)(a^2+b^2)

思路探寻：看似不能分解，经过重新组合后，柳暗花明又一村啦。

题型七：选"主元"分解

思路探寻：①把X当作“主元"，y当作常数，整理成为关于X的二次三项式，再用十字相乘法解。

②X^2一5Xy+2y^2)+7Ⅹ一5y+3

=X^2+(一y+7)X+2y^2一5y+3

=X^2+(一y+7)X+(2y一3)(Y一1)

=(X一2y+3)(2Ⅹ一y+1)

这就是"双十字相乘法"，也可以把前三项结合后先用“十字相乘法”，有兴趣的可以试试。

题型八、拆项或添项后再分组。此法将专门研究。

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