如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在AC上，BA=BD，点E在BD上，∠EAD=∠C，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BP，连接PE. 探究线段PE,AE,BE的数量关系.

确定目标

将已知条件标注在图上

发现几何模型：计算并标注等角、等线段、比例线段

① ∠ADB=∠DAB；

（等边对等角）

② ∠CBD=∠ADB-∠C；

（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）

③ ∠EAB=∠DAB-∠DAE；

（复合角的和差关系）

④ ∠EAB=∠CBD；

（等量减等量差相等）

⑤ ∠AED=∠ABC=45°.

（等量加等量和相等）

构造几何模型

已知等线段，找到以等线段和相关线段为边的三角形，选择其中一个三角形作为参照，以等线段为对应边，构造与之全等的三角形：

① 线段AE,BE,AB在△ABE中；

② 线段PE,BE,BP在△PBE中；

③ 作BF⊥BE，交PE于点F；

（以AB,BP为对应边，构造与△ABE全等的三角形）

④ ∠PBF=∠ABE；

（等量减等量差相等）

⑤ 只有一边一角相等，无法证明全等.

（容易伪证）.

已知垂直等线段，构造一线三垂直全等模型：

① 分别过点A,P作直线BD的垂线，H,Q是垂足.

发现几何模型：计算并标注等角、等线段、比例线段

② ∠ABE=∠BPQ；

（同角的余角相等）

③ △ABH≌△BPQ；

（AAS证明三角形全等）

④ AH=BQ、BH=PQ；

（全等三角形对应边相等）

⑤ AH=HE;

（有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形）

⑥ HB=EQ；

（共线等线段：等量加等量和相等）

⑦ EQ=PQ；

（等量代换）

⑧ PE=EQ.

（等腰直角三角形，斜边等于直角边的倍）

只有通过数学，我们才能彻底了解科学的精髓. 只有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性. 任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷.

—— 科姆特