本文发表于《小学数学教师》1998年第6期。

这是小学二年级第一学期末的数学课外活动课。学生是自愿报名参加的，没有进行过任何挑选。教学时间是连续两个课时共一个半小时(课间休息10分钟)。使用教材是刘彭芝主编、刘治平副主编及编撰的《华罗庚学校数学课本》二年级上册(第十五讲《画图凑数法》，大百科全书出版社1994年10月)。

(一)

师：同学们，今天我们学习鸡兔同笼问题。

生：老师，什么叫“鸡兔同笼”呀？

师：我先给你们讲个故事吧!我小时候，像你们这样大，一天，在放学回家的路上，一个白胡子老爷爷拦住我，说：“你上学了。我考考你!”我喜欢数学，爱动脑筋，就说：“老爷爷，你考吧!”白胡子老爷爷说：“听着，我出题了：笼中有兔又有鸡，要数腿三百六。要数脑袋一百一，几只兔子几只鸡?”我一听就愣住了，心想太难了!怪不好意思的。白胡子爷爷说：“你现在还小。不会不要紧。记住吧，这叫鸡兔同笼问题。古人云，人非生而知之，而是学而知之，好好读书，日后再学。”我记住了白胡子老爷爷的话。到了上小学五年级时，头一次去县城，在新华书店里，见到一本《小学数学四则应用题详解》，就买回了家，书中讲了这道题，我学会了，特别高兴。直到现在我还记忆犹新呢!

生：这道题该怎么做呀，给我们讲讲吧!

师：先別急，我问问大家，都愿意学鸡兔同笼吗？

生：(齐声回答)愿意!

师：好!这是我国的民间趣题，我希望每个同学都把它记住。我提议，现在大家一起朗读两遍。(教师带领学生大声朗读，群情振奋，童音悦耳。)

[说明]课首先通过讲故事，点出题目，显示难度，造成认知冲突，从而激发学习动机，增强学习兴趣，并暗示老师小时候也不会，促进学生对老师的认同。这对低年级小学生来讲是必要的、适宜的。从心理学角度看，学习的动机、兴趣、情感等属意向活动和非智力因素。在教学活动中，它们同认识活动及智力因素一起发挥作用。上师大燕国材教授讲教学过程的本质“就是认识与意向，亦即智力因素与非智力因素的统一”。上海顾汝佐老师指出，培养学生认识的发展与意向的发展应紧密联系、相辅相成。

另外，本讲高度重视所选例题。大数学家、科学家牛顿曾说过：“在数学上，例子比法则更重要。”这则民间趣题，简明准确、 押韵好记，会给小小年纪的孩子们留下终身难忘的深刻印象。我个人的体验即是如此。

(二)

我拿出图画，贴好(见图1)。

师：同学们，咱们先从简单的开始。大家看，一只鸡有两条腿，一只兔有四条腿。我现

X

在问：鸡兔同笼，有2个头，共6条腿，想想，几只兔，几只鸡?

生：1只兔，1只鸡!(大家齐声回答。)

师：对!再听：鸡兔同笼。3个头，8条腿，几只兔，几只鸡?

生：1只兔，2只鸡!

师：好!再听：鸡兔同笼，3个头，lO条腿，几只兔，几只鸡?

生：2只兔，1只鸡！

师：很好!这些简单题，你们一下子就猜出了答案!还有不明白的吗?下面大家可以互相讨论，也可以互相出题考考!

学生们开始讨论，互教互学，教室气氛更活跃了。 图1

[说明]

(1)通过师生对话问答，学生已经搞清了题意，知道了什么是鸡兔同笼问题了。以上三题，学生猜猜凑凑，都能得出正确的答案。这说明小学二年级学生的心理发展水平已具备了学习鸡兔同笼问题的经验准备。

(2)我的鸡兔同笼教学为什么从最简单的问题开始呢?著名数学家华罗庚教授说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”美国华盛顿大学数学教授卡尔．B．艾伦多弗，在他所写的供小学教师使用的数学教材中也谈到：“数学中的一切讲授都应该在直观水平上开始。当你抓住概念并把它们与你周围的世界联系起来时，就为更正规的讲述做好了准备。”他认为这是讲课应该遵循的程序。这是从教学过程的认识活动方面考虑的。若是从情感因素方面考虑，我们可举出德国弗来堡师范大学海纳特教授在所著的《创造力》中说过的话：“创造性教学的一个特征是，教师尽量关怀学生的学习，努力使自己返回到学生阶段，也就是开始一个倒回的过程，这样他才有可能把自己与学生看成一致的。并使学生把他视为同一。”r> (3)课堂上自由讨论，是根据“数学学习是一种社会性活动”的观点而穿插进来的，以便从小培养学生的合作精神。

(三)

过了一会儿，我示意自由讨论停下来。

师：同学们，我出难题了!鸡兔同笼，有10个头，共26条腿，几只鸡，几只兔

生：咳呀!太难了，猜不出来了!

师：是不好猜了，咱们再想个高级点的办法好不好

生：好!

师：这个办法叫做画图凑数法。请大家拿出纸和笔，跟我一起画。(学生做准备，教师在黑板上开始画，边画边讲。)

师：同学们，咱们画点“●”代表头，该画几个点呀

生：画10个点。(学生开始画。)

师：对，第一步，画l0个点，代表10个头。(见图2)

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

图2：10个头

　第二步，用线段“│”代表腿，我们在每个点下都画上两条腿(线段)，就成了10只鸡，数一数，它们有20条腿(见图3)。

图3：10只鸡20条腿

第三步，题里说有26条腿。腿不够，再添腿。一个头(点)下添两条腿(线段)，它就变成了兔。一边画一边数，凑够26条腿就好了(见图4)。

图4：共26条腿

数一下，可知有3只兔，7只鸡。这就是答案，你们看，对不对

生：对!(学生也跟着画完了)

接着，我叫学生做教材中习题十五的第1题，即：笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡 同学们用刚才的方法得出了答案：4只兔，7只鸡。这表明学生已经掌握这一方法了。

[说明]这段教画图凑数法，我带领学生边画边数，直至得出满足题目中的两个条件(头数、腿数)为止，答案就得到了。可以看出，这个方法的实质就是一套完整的操作程序，包括画图和数数两个方面。从生理和心理的发展来看，二年级的小学生完成这套操作，是能够胜任的，也是能很快学会的。

按宋淑持老师提出的“小学低年级数学教学中思维能力培养”的做法来看，画图凑数法完成了其中的头三个环节，即利用“形象化”的教学方法“提供感性经验，引发形象思维”，“获取有关表象”，“概括出典型(有代表性的)形象”。如果说这可以叫做第一步的话，那么还应该继续进行下面的第二步：是否可以叫做“引向、形成抽象思维”，和第三步：是否可以叫做“应用、解决实际问题”。

另外还需说明的是，用点“●”代表头，用线段“│”代表腿，用“

”代表鸡，用“

”代表兔，这种替代的实现过程同时就是学生头脑中的抽象过程，即是舍弃了“头”、“腿”、“鸡”、“兔”等事物诸多方面的属性，只保留了与题目有关的数量特性。也只有这样才概括出了这些“典型(有代表性的)形象”（宋淑持语），它们（●，│，

，

等）是在形象思维中被运演(操作)的对象。这也就不难理解，在数学中的形象思维不同于文学艺术中的形象思维，它的运演(操作)对象一般不再是如鸡、兔那样的原物原型，而是具有一定抽象度的典型形象。

这是否就是把“形象化”教学进一步深化时应该注意的问题呢 这是否就是教学生“学会数学地思维”的最起码的要求呢

再次，可以说，画图凑数法的设计是符合(或说依据)加里培林等心理学家所说的，人的外部活动的动作结构能转化为內部的认知心理结构，即两者具有同构性的假说的理论的。

(四)

师：同学们，下面我把题出得再难一些，注意听：一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，今有蛐蛐和蜘蛛共10只，腿68条，蛐蛐和蜘蛛各几只 谁说说，对这道题该怎样想

生：老师，我看这道题像鸡兔同笼一样，也可以用刚才学会的画图凑数法做。

　师：好!让我们画画看吧!大家还跟我一起做。(教师边画边讲，学生边画边听。)画出10个点代表10个头，因为蛐蛐的腿太多，我们在点下写个数字“6”就代表6条腿(见图5)。

图5：10只蛐蛐

算一算，10只蛐蛐共有6×10＝60条腿，与题给的腿数还差：68－60＝8条腿，再给蛐蛐添2条腿，叫它变成“蜘蛛”，算一算，要添出8条腿，只要变出4只蜘蛛就行了(见图6)。

图6

写出算式8÷2=4只蜘蛛。同时可知10－4＝6只蛐蛐。

这一题是用画图凑数和算式计算结合起来解答的，下一步就要过渡到只用算式计算了。

师：同学们，现在让我们一起解决白胡子老爷爷从前给我出的那道难题吧!

题目：鸡兔同笼，头110个，腿360条，鸡兔各几

解：要求在脑子里画图形。

第一步：画出110个头；

第二步：每个头下添2条腿，共有2×110=220条腿；

第三步：算一算还差几条腿 还少360－220=140条腿；

第四步：给鸡添2条腿，叫它变成兔：共变成140÷2=70只兔；

第五步：最后再算出鸡数：110－70=40只鸡。

同学们都能够掌握这个计算程序了，大家很高兴。

[说明]至此我们用语言、算式表述，把学生的思维活动引向开展的抽象思维。并加以压缩，形成抽象思维，获得了一种解鸡兔同笼问题的思维模式。

(五)

接着，我又引导学生把解鸡兔同笼问题的思维模式(可以说是一套思维操作程序)去解很多类似的问题。具体地讲我让学生在课堂上练习解答教材的例2以及习题的第3、5两题，兹抄录于下：

例2：一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共10辆。数数车轮共有26个，自行车几辆，三轮车几辆

习题十五(3)：有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，两队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗 ”

习题十五(5)：数学竞赛试卷共有10道题。做对一题得10分，做错一题扣2分，小明最终得了76分，问他做对了几题，做错了几题。

很多学生很快就完成了练习，特别是有一些学生用心算马上就做出了，使我这个老师都感到惊讶。如一个学生解习题十五(5)题说：“小明做错了两道题。”我问：“你怎么知道的 ”他说：“他若是10道都对了就能得100分，错一道就要少12分，他得了76分，所以是错了两道”。这种思维方式完全就是鸡兔同笼的解题模式呀!

[说明]根据模式论的数学观，可以说，相对于各种具体的数学模式而言，思维模式具有更高的层次。由上文所述可见。我们借助于形象思维，使小学二年级学生建构起了解“鸡兔同笼”那样的一大类问题的思维模式，使孩子们经历了一次由形象思维向抽象思维进行过渡的心理体验。实现了教鸡兔同笼问题应该达到的教学目标，即把数学结论应用于实际，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，使学生变得更加聪明。

当时，我国小学数学教育专家、八旬高龄的资深编审宋淑持先生，在《小学数学教师》的专栏《松子评课》上发表署名文章，载1998年第6期，评荐拙作：

读刘治平《我教鸡兔同笼》的两点体会

(一)

“鸡兔同笼”问题是传统算术中的难题。在传统的教材中是小学高年级，甚至初中一年级里教学的。刘治平老师让二年级小学生学习这种“难题”却取得了很大的成功。这里有什

么“奥秘”呢?我认为主要是由于刘老师把“鸡兔同笼”这一类数学问题作为培养和发展儿童数学思维的载体，引导儿童经历了一次由具体形象到概括了的形象，由形象思维到抽象思

维过渡的心理体验，从而主动构建起了解题的思维模式，实现了提高解题能力和发展思维的教学目标。

我们来看看这课上儿童思维发展的脉络：

(1)老师先出示颜色鲜艳、形象生动的兔子和公鸡的实物图，唤起儿童有关的生活经验，儿童的脑海中呈现了这两种小动物的具体形象。这一步是基础。

(2)再用“●”表示小动物的头，用“│”表示小动物的脚，得到用“

”表示鸡，用“

”表示兔。这一步很重要。在这里，兔子的白色、鸡的金黄色都不见了，它们的生动的不同形态也不见了，甚至它们的躯体也被忽略了，而只抽取了与数学题有关的“头”与“脚”；而且，“兔头”与“鸡头”的差异，“兔脚”与“鸡脚”的差异，也被舍弃了，只保留了头和脚的一般形象。这对老师来说，是把教学内容加以抽象，考虑到儿童的可接受性，再把抽象的结果形象化。而对儿童来说，他们的心理历程则可能是淡化鸡、兔的具体形象中的其他部分，而把显示鸡、兔的数量属性的形象筛选出来，概括出来，得到一些“符号画”，这一历程是儿童脑中表象的概括化、典型化。

“符号画”既是形象的图画，又是抽象的符号。它是形象思维运演(操作)的“算子”，又是形象思维过渡到抽象思维的桥梁。

(3)运用符号画操作，让儿童在脑子里运演，解出数据较小的问题，使儿童理解“鸡兔同笼”问题的基本结构，并获得解题的感性经验。

(4)随着数据的增大，在符号画中引入数字(见刘文图6)，再加上语言的介入，儿童的思维逐步抽象化，直到用算式表示解题过程，这时儿童的思维也随着发展到抽象思维了。

(5)最后，通过讨论和练习，使儿童形成解“鸡兔同笼”这一类问题的思维模式，并能灵活加以应用。

从上所述，可以看到刘老师教“鸡兔同笼”问题的过程也是根据儿童思维规律，培养儿童的思维的过程。我认为这就是刘老师在教学中取得成绩的主要奥秘。

(二)

《我教“鸡兔同笼”》的作者刘治平老师是北京科技大学物理系副教授，北京市华罗庚学校特聘教师，《华罗庚学校数学课本》的副主编。这节课是作者自办的“双休日数学班”对二年级小学生上的数学活动课实录。

有人认为，小学数学只不过是“＋、－、×、÷，”是“小儿科”(上海民间俗语，指极其简单的“小事一桩”)，谁都会教。果真是这样么?看了刘老师的《我教“鸡兔同笼”》就可以得到答案了。这篇文章的“说明”部分，说明了教案的设计意图及其理论根据，使我们看到小学数学学科是数学、教育学、心理学与思维学等诸多学科的综合学科，学问大着呢。

刘老师的经验还告诉我们，学生的学习潜力是很大的，就看老师怎样去开发，这就需要有高素质的教师。

当前，新科技革命的浪潮已扑面而来。“科技兴国”的基础在教育，而小学是基础教育。开发小学生的学习潜能，为培养身心健康、高智慧和高情感协调发展的人才打好基础，关键

在教师。我们欢迎资深学者、教授作为“志愿军”加盟小学数学教育的实践、研究工作，使我们的工作更具深度；我们更寄希望于广大的小学教师，立足本职工作，学习刘老师的治学精神，用科学的理论指导实践，在实践中不断充实自己，提高小学数学教育的质量。让我们一起在为“科教兴国”的“基础工程”中奋力拼搏，体现自己的生存价值和生命辉煌!

我教“鸡兔同笼”（续）

2009-10-26 13:32阅读：2,270

本文发表于《小学数学教师》2000年第1、2期 153-154页

贵刊1998年第6期“松子评课”《读刘治平〈我教鸡兔同笼〉的两点体会》一文中说：“我们欢迎资深学者、教授作为‘志愿军’加盟小学数学教育的实践、研究工作。使我们的工作更具深度。”我觉得。这是个非常中肯的意见。的确，近十年来，我于大学教书之余，在致力于少儿超常数学启蒙教育的过程中，发现有不少资深学者、专家教授是非常关注小学数学教育的。令人惊奇的是，他们对如何教好“鸡兔同笼”[注1]这类问题也曾发表了精辟的见解。当我给三四年级的小学生讲“鸡兔同笼”问题时，也试着把这些材料讲给他们听，孩子们反应强烈，效果很好。今受到贵刊启发，向小学界同仁作一介绍，以期互相切磋，共同提高。

G·波利亚是一位杰出的数学家，在数学的广阔领域里有极为精深的研究；他还是一位著名的数学教育家，十分重视从小培养学生思考问题、解决问题的能力，不倦地为改进数学教学而努力。他写的《数学的发现》、《怎样解题》、《数学与猜想》等著作，在美国风靡一时，而后被译成世界上的多种文字，我国也有译本。

在《数学的发现》中，他说”鸡兔同笼”问题，“曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，今天它还会引起一些聪明小朋友的兴趣”。他说的题目[注2]是：

一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有50个头和140只 脚，问鸡和兔各多少。他对此举出了4种解法，其中有一个极其巧妙的解法是：

农夫惊异地看着鸡兔们非凡的表演：每只鸡都用一只脚站立着，而每只兔都用两只后腿站立起来。在这种惊人的情况下，地上的总脚数只是原来的一半，即70只脚。如果把70这个数当作脚数，鸡的脚数和头数相同，而兔的脚数却是兔的头数的两倍，因此从70里减去总的头数50，剩下来的就是兔子的头数：70-50=20(只)。即有20只兔子，当然鸡就是30只。

波利亚说，这个解法很巧妙，它需要对情况有清晰的直观理解和一点小聪明。他还说，这是一位14岁的小朋友自己想出来的，这种捷思巧想要有相当的造化才行呀!

金鸡独立、兔子站起——想得巧!

单 墫，是我国首批博士，国家级有突出贡献的中青年专家，现任南京师范大学数学系主任。他还致力于数学普及工作，数次被聘为国家数学奥林匹克集训队教练及领队。他在给小学生写的《巧 解应用题》这本书中，也写了“鸡兔同笼”问题：[注3]

鸡兔共有头42个，脚108只，问鸡兔各多少。单墫教授说：一种有趣的方法是假设每只兔子又长出一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”。“半兔”与鸡都是两只脚，因而共有108÷2=54(只)，从而多出了54-42=12(只)，这就是兔子的数目(因为每只兔子变为两只“半兔”，只数增加1只)。鸡的只数就是42-12=30(只)。

把兔“劈开”，成两“半兔”——想得奇!

张景中，中国科学院院士，四川大学博士生导师。在数学教育上有独到的见解。他认为，为了成功地进行数学教育改革，要根据教育的规律，对教材施以数学上的再创造。这种再创造，已超出了“教学法加工”的范围，形成了“教育数学”的研究领域。为此，他首次提出把“教育数学”作为一门学科的建议。在谈到面向21世纪的中国数学教育时，他说：“数学本来就繁难，我们的某些教学规范不是设法化难为易，而是难上加难。”所以。他竭力主张数学教育的改革应“把数学变得容易一点。”他也举了“鸡兔同笼”的例子[注4]：

鸡兔共有头18个，足60只，问有多少只鸡，多少只兔。

张景中教授说，我曾经试过，从学生的常识出发，可以自然地引出解答：

师：“兔有4只脚，为什么鸡只有2只脚?这岂不是太不公平了吗?”

经过思考，学生会找到理由：“不是不公平，鸡还有两只翅膀呢!”

师：“如果翅膀也算脚，总共有多少只脚?”

这容易回答：18×4=72只脚。

师：“但题中翅膀不算脚，只有60只脚，可见有多少只翅膀呢?”生：“72-60=12只翅膀。”师：“多少只鸡？”

于是学生兴奋地喊出来：“6只鸡!”

把鸡翅膀也算成脚——想得奇巧!

周沛耕，全国优秀教师，北京大学附中特级教师。早年毕业于北京大学数学力学系。长期以来从事对数学有特殊兴趣的学生的成材理论研究及实际培训，曾任北京市数学集训队主教练，国家数学集训队教练。他参与指导的学生中有多人在国际数学奥林匹克竞赛中获金牌、银牌和铜牌奖。他在其编著的《周沛耕教我学数学》一书中，也讲了“鸡兔同笼”问题[注5] ：

鸡兔同笼，共30个头，72条腿。问鸡兔各几只。

周老师写道，让鸡兔有些“特异功能”，假想鸡兔都受过专门训练，听到一声哨音后。鸡飞起来，兔立即双腿站立起来。这时，立在地上应该都是兔，它的腿数就是“72-30×2=12”条，因此有12÷2=6只兔。进而知有24只鸡。

鸡兔具有“特异功能”——想得更奇妙!

至此，我想各位同仁一定会对上述几位专家教授教小孩“鸡兔同笼”时的奇思妙想拍案叫绝，获益匪浅了!一定会对同一问题得到了这么多不同解法感到妙不可言，回味无穷!进而

在如何引导小孩子对学数学发生兴趣这个大问题上获得启发，受到激励。这些也正是我的感受，并且正是我向诸位同仁介绍的缘由。

然而，此时此刻我的心中仍觉惴惴不安，因为我还未将我国著名数学家吴文俊教授对教“鸡兔同笼”这类应用题的看法介绍给大家呢!

吴文俊，中国科学院院士，中科院系统所研究员、名誉所长。他在数学的诸多领域都作出了杰出的贡献，而且“对数学教育是一直很感兴趣的”，关注着数学教育的改革大计。他在“数学教育现代化问题”的讲话中曾恳切呼吁：要早些教孩子们用代数方法解“鸡兔同笼”这类四则难题”。 [注6]

他说：

四则难题的内容是什么?我举一个典型的例子。就是“鸡兔同笼”(题目解略)。这个解的逻辑推理是非常严格的。思维是非常巧妙的。若要我说，这是用了一些奇招、怪招算出来的。……这些奇招怪招如果学多了，对于逻辑推理、思维能力等等，的确是起了一定作用；可是你学了那么多会有什么用?事实上，将来你能够用得上的机会是微乎其微的。对于“鸡兔同笼”等许许多多四则难题。你若用代数的方法来做，就会变得非常容易；更重要的是，尽管这种四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远，更不能腾飞。可是只要一引进代数方法，平平淡淡的，你就可以很容易地把题解出来了。每个人都可以做，而且他可以腾飞，可以飞得很高、很远。所以，不能在奇招怪招上消耗太多时间，但我并不是说完全排除不要。在讲了代数方法之后，再把这些难题的奇招怪招的算法和代数解法做一个对比，我想，这样应该是有好处的。

吴文俊教授的结论是：“四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育这是非常重要的。”他还希望能有人“真刀真枪地干”起来。

以上我之所以详细地摘引了吴文俊院士的话，意欲能做到准确地反映他的观点。使之对如何教小孩学好数学这个大问题引发深层次的思考。显然。这里已经涉及到了小学数学教育界同仁在教应用题方面多年来存在的两种不同的见解：一方欣赏算术解法的奇思妙想，以体现思维训练的永恒价值；另一方则注重代数方法即列方程求解的普适性，并体现机械化演算的可操作性。

笔者在大学教书之余，多年来倾注于少儿数学超常启蒙教育的实践与研究。本着吴文俊院士的意见，近年来，我尝试着在三四年级的课外兴趣班较系统地讲了方程法解应用题，我“真刀真枪地干”，摸索了一种有别于中学代数的、“非正规”教法，但却是从基于小学生的生活经验和适应于小学生的思维发展水平的角度考虑的，也是响应陈重穆教授提出的“淡化形式，注重实质” [注7]的号召而设计的。下面就“鸡兔同笼”的讲法给以扼要地介绍[注8]。

我的课常以下面这道民间趣题开始：

笼中有兔又有鸡，要数腿三百六，要数脑袋一百一，几只兔子几只鸡?

解：方程法：

设：用“鸡”字代表鸡的只数，“兔”字代表兔的只数。

[说明]：这种“设法”，是不用X、Y等字母表示未知数的，甚至连“未知数”这个术语也不要出现。是因为我考虑到新名词术语会分散学生的注意力。事实上，无论我国古代，还是欧洲早期，方程中的未知数都不是用字母X，Y表示的。我认为这些地方就是给小学生讲代数法时极需注意的，这是淡化形式的具体做法之一。

列： 头： 鸡+兔=110---------------①

腿： 2鸡+4兔=360-------------②

[说明]一开始就列所谓的二元一次方程组(讲课时也无必要说明这个术语)，而不是列一元一次方程。我考虑，这样可以省去在列方程前就要找那种隐蔽着的等量关系的思考过程。为此我还用“傻瓜”照相机作比喻，对孩子们说，这叫“用傻瓜法写等式”，孩子们哈哈大笑着接受了。其实，这样做，完全是为了按照大数学家牛顿的说法，不过是把“日常生活语言”直接译成“代数语言”罢了。

顺便再说一下，在教学实践中，我逐渐体会到，这种“用傻瓜法直接写等式”作为起始点的做法更体现了与算术法的不同之处，也验证了吴文俊教授所说的不需要天才人物想奇招

怪招的说法。

解：方法一

由①： 2鸡+2兔=220 ③

由②-③： 2兔=140

兔=70(只)

鸡=40(只)

方法二

由①： 4鸡+4兔=440 ③

由③-②： 2鸡=80

鸡=40(只)

兔=70(只)

解题完毕。

[说明] 我在解方程的过程中，由“鸡+兔=110”，而得到“2鸡+2兔=220”时，并不说“这是根据方程两边同时乘以2，方程两边仍然相等”这样的话，因为这样说是“教学法的颠倒”(弗赖登塔尔语)，是在同解方程概念下进行等式变换的形式化语言，孩子们很不容易接受它。而实际上正好相反，他们从生活经验中，从具体意义中能直观地理解这两个等式间的变化。同样，由“2兔=140”得到“兔=70(只)”，我也不提“把方程两边同时除以2方程两边仍相等”这句话。这些有关同解方程的理论，留待以后正式学方程时再讨论。

我还要说出的一点教法是，我尝试着用孩子们的语言把解方程戏称为“玩等式”，也戏称为“拿等式变戏法玩”。我说玩一个等式时有“两件法宝”，它们是“变号搬家”和“去括号”，玩一组等式时也有“两件法宝”，那就是“等式加减法”和“等量代换法”，而这种“拿等式变戏法玩”的目标就是把一个量“变没有了”，而把另一个量“变出得数”来。

我还向孩子们说，大家一定要记住：算术解法和方程解法的重大区别在于，做算术解法的每一步都是为“计算得数”，而用方程法解题时每一步都是在“变换等式”。这大概就是在算术活动中要培养“数感”，而在代数活动中要培养“式感”的道

理吧。

最后我还想说一说，用方程法解应用题到得出答案之后，为了沟通所学知识、开阔学生思路，我引导学生把两种方法互相比较，还进行了下面的工作。

对于解法一稍作改写：

由①： 2鸡+2兔=2×110------③

由②-③： 2兔=360-2x110

得：兔=(360-2×110)÷2

对于解法二：

由①：4鸡+4兔=4×110------③′

由③-②：2鸡=4×110-360

得：鸡=(4×110-360)÷2

再利用此题中110是总头数，360是总脚数这种具体的含义进行“一般化”，从而，就用方程法得到了鸡兔同笼问题的

算法公式：

(1)兔=(总腿数-2×总头数)÷2

(2)鸡=(4×总头数-总腿数)÷2

我再引导学生对这种算法公式进行解释。对公式(1)的解释是：假设都是鸡，总腿数只有“2×110”只，比原有360只少了“360-2×110”只；这是由于把兔想成了鸡的缘故，1只兔想成1只鸡要少2只脚．所以由(360-2×110)÷2，就可知兔有多少只了。〔公式(2)的说明从略〕——这时学生们恍然大悟!这不就是算术解法的思考方式吗，它竟在方程解法的结尾

处出现了!

最后，我把方程法和奇思妙想也联系起来，从而激发起学生们对数学的更大的惊异感。

设：用“鸡”“兔”字代表鸡、兔的只数，把数110、360用总头数、总腿数代换。

列：

鸡+兔=总头数---------①

2鸡+4兔=总腿数------②

解：方法一 由②：鸡+2兔=总腿数÷2 ③

由③-①：兔=总腿数÷2-总头数

这不就是G·波利亚以及单墫教授所说的那种奇思妙想的算法表达式吗!或是反过来，他们的奇思妙想不就是这个式子的两种不同的解释吗?!

方法二 由①： 2鸡+2兔=2×总头数 ③′

由②-③′： 2兔=总腿数-2×总头数

兔=(总腿数-2X总头数)÷2

这不就周沛耕老师想出的鸡兔具有“特异功能”的情况的数学表达式吗?或是反过来，周老师的奇思妙想不就是根据这个式子做出的一种解释吗?

方法三

由①： 4鸡+4兔=4×总头数 ③＂

由③＂-②： 2鸡=4×总头数-总腿数

鸡=(4x总头数-总腿数)÷2

这不就是张景中院士说的那种把鸡翅膀也算成脚的奇思妙想的数学表达式吗?或者反过来，张景中教授的奇思妙想不就是对这个式子的一种解释吗？

至此，学生大惊了！老师高兴了！算术解法与代数解法异曲同工!奇思妙想与按步推演殊途同归!绝妙至极！神哉数学！

附：参考文章

[注1]参见柳斌主编：《小学教学全书(数学卷)》第266～267页，上海教育出版社，1995年12月。

[注2][美]G·波利亚著：《数学的发现》第一卷第40～41页，内蒙古人民出版社，1980年。

[注3]单墫著：《巧解应用题》第68～70页，中国少年儿童出版社，中国少年儿童出版社，1988年7月。

[注4]张景中：《把数学变得容易一点》，载《面向21世纪的中国数学教育》第79～80页，严士健主编，江苏教育出版社，1994。

[注5]周沛耕编著：《周沛耕教我学数学》第288～289页，首都师范大学出版社，1993年3月。

[注6]吴文俊：《数学教育现代化问题)，载《21世纪中国数学教育展望①》，北京师范大学出版社，1993年5月。

[注7]陈重穆，宋乃庆：《淡化形式、注重实质》，载《数学教育学报》第2卷第2期，1993年11月。

[注8]详见刘治平：《巧解四则难题》，载《现代特殊教育·优才教育版》，江苏教育出版社，1997年第2期。