魏尔斯特拉斯函数 魏尔斯特拉斯逼近定理

然后，魏尔斯特拉斯用完全数学的语言改进了柯西的这段纯文字的定义，得到了最终的，也是我们现在教材里使用的ε-δ极限定义。

根据柯西的思想，魏尔斯特拉斯说：你要判断某个函数f(x)在某个地方a的极限是不是某个值L，关键就要看如果我任意说一个数ε（比如0.00…001或者任意其它的，注意是任意取，这里用ε代替），你能不能找到一个x的取值范围（用δ来衡量），让这个范围里的函数值f(x)与那个值L之间的差（用套个绝对值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你总能找到这样的δ，那我就说函数f(x)在a点的极限为L。

用精练的数学语言表述上面的话就是：当且仅当对于任意的ε，存在一个δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我们就说f(x)在a点的极限为L。记做：

定义里的Lim就是极限的英文单词Limit的缩写，这个箭头x->a也非常形象地表达了极限这个概念。

这个定义就真正做到了完全“静态”，不再有任何运动的痕迹（连柯西说的“无限趋近”、“随意的小”都没有了），也不再有任何说不清的地方。从定义你也能清楚地看出来：它根本不关心你是如何逼近L的，飞过去、跳过去、爬过去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承认你是我的极限。

用一位伟人的名言翻译一下就是：不管黑猫白猫，能比ε还小的就是我的极限好猫。

这里要特别注意的是ε是任意的，任意就是说随便ε取什么你都要找到对应的δ，你不能说有10个ε满足条件就说这是极限。

看个例子，我们考虑最简单的f(x)=1/x。当x的取值（x＞0）越来越大的时候，这个函数的值就会越来越小：

f(1)=1，

f(10)=0.1，

f(100)=0.01，

f(1000)=0.001，

……

看得出来，当x的取值越来越大的时候，f(x)的值会越来越趋近于0。所以，函数f(x)在无穷远处的极限值应该是0，也就是说：

这个结论是很明显的，接下来我们就来看看如何用ε-δ定义来说这个事。

按照定义，我们要取一个任意小的ε，假设这里我们取ε=0.1，那么我们就要去找一个δ，看能不能找到一个范围让|f(x)-0|<0.1，显然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意给一个ε，我们显然都能找到一个数，当x大于这个数的时候满足|f(x)-0|<ε，这样就OK了。

于是，我们就构建了一个逻辑严密，不再有任何“说不清”概念的极限理论。有了这个坚实的地基，我们就可以放心地在上面盖房子了。那个漂泊了一百多年，那个被幽灵般的无穷小量缠绕了一百多年的微积分，即将迎来新生。

未完待续～

后面我们将看到这种新的极限理论是如何重构微积分的。