正方体的体积公式 正方体体积公式大全表

[教学内容]

《义务教育教科书?数学》（人教版）五年级下册第29页、30页、31页例1、做一做及练习七中部分习题。

[教学目标]

1．通过“摆”、“数”等操作活动，理解长方体和正方体的体积计算公式。

2.在“数”与“算”的转换中，感悟概念之间的相互联系，提升学生空间观念。

3.在探究体积公式过程中渗透符号思想、函数思想、形式化思想

4.通过探索、建构的活动，感悟数学来源于生活，又应用于生活，获得运用知识解决问题的成功体验。

[教学重点、难点]

重点：理解长方体、正方体所含体积单位的数量与它的长、宽、高的关系。

难点：理解长方体和正方体统一的体积公式（长、正方体的体积=底面积×高）。

[教学准备]

多媒体课件、长方体纸盒、小正方体学具、题卡

[教学过程]

一、激趣引课，复习旧知

师：初次和同学们一起上课，老师给大家带来一点礼物，就装在这个盒子里（出示长方体盒子），等我们把这节课的内容研究完了，就分给大家

师：这个盒子是什么形状？

生：长方体

师：大家认真观察：老师这样放和这样放……什么变了，什么没变？

生：方向变了、长、宽、高变了……体积没变

师：同学们很善于观察，那它的体积有多大呢？

生：不知道……

师：这节课我们就来研究“长方体和正方体的体积”（板书课题）

二、探究新知，自主构建

㈠主动寻找测量长方体体积的方法

师：每个小组老师给准备了一个长方体，把它拿在手上，估计一下你手里的长方体的体积大约是多少立方厘米

生：长方体的体积大约是25cm3、20cm3……

师：那怎样才能知道这个长方体的体积到底是多少呢？

生：用体积单位去测量

师：你会选择哪个体积单位去测量？

生：我选择1cm3的单位测量这个长方体的体积

师：为什么不选择1dm3（出示1dm3的正方体）

生：因为它太大了

师：同学们不仅知道要用体积单位去测量，还能选择合适的体积单位，很了不起。

师：现在我们就用1cm3的小正方体测一下这个长方体的体积，测量之前老师提示大家几点：①两位同学为一组；②每组都准备了一个长方体，还有一些体积是1cm3的小正方体；③每组还有一张“操作卡”，测量的时候按你们测量的顺序，由每个小组右侧同学填写。

师：明确了任务，就开始动手测一测长方体的体积吧！

㈡感知“长、正方体的体积与体积单位数量”的关系（动作表征）

（学生测量5分钟）

师：有哪个小组测量出长方体的体积了？

情况一（密铺）：

生：我们小组用小正方体摆了和这个长方体一样大的长方体，然后数小正方体有60个，这个长方体的体积就是60cm3。

师：你们先测（数）的什么

生：我们测量长是5、宽是4、高是3，然后乘起来

师：老师记录一下（板书：长、宽、高）

师：你们是怎么想的？

生：5×4求上面的面积

师：你们测出长方体的长是5厘米、宽是4厘米……5×4在这里也表示“上面一层小正方体的数量……”

师：再乘3呢？

生：一共需要多少小正方体

师：你们摆的长方体一共需要多少小正方体

生：60个1立方厘米的小正方体

师：长方体的体积是多少

生：长方体的体积是60立方厘米

师：你是用小正方体摆了一个完整的长方体吗？

生：是，我们小组摆了一个完整的长方体

师：（课件演示）你摆的是这样的吗

生：是

师：长摆了5个小正方体，宽摆了4个小正方体，这样第一层有多少个小正方体？

生：20个小正方体

师：有这样的3层，一共有多少个小正方体

生：60个小正方体

师：这个长方体含有60个1cm3的小正方体，它的体积是多少？

生：它的体积是60cm3

师：大家的动手能力很强，还有不同测量方法吗？

情况二（长、宽、高）：

生：我们先测量的长是5、宽是4、高是2，然后乘起来

师：你们是怎么想的？

生：5×4求的是前面的面积

师：5×4也表示你们摆小正方体时，前面一层的（小正方体的数量）

师：再乘4呢

生：一共要多少小正方体

师：你们只摆了长、宽、高，还是摆了一个完整的长方体？

生：我们只摆了长方体的长、宽、高

师：不摆满了也能测出长方体的体积吗（课件：现场完成）

师：你们小组真有想法，测量的更简单了

情况三：

生：我们测出长方体的体积是36cm3

师：你们的方法和他们一样吗？

生：不一样

师：那你们是怎么测量的

生：我们用小正方体量出长方体的长是5、高是3、宽是4，用5×3×4=60cm3

师：你们摆了完整的长方体吗

生：不是，我们只测量了长、高、宽能摆多少小正方体

师：你们是怎么想的？

生：长是5、高是3、宽是4,5×3求的是前面一层小正方体的数量

生：再乘4，表示4层一共有多少小正方体

师：通过你们的测量，一共需要多少小正方体

生：一共需要60个小正方体，长方体的体积是60cm3

师：你们小组的方法很特别

情况四：

师：哪个小组测量的长方体的体积比他们的都大？

生：我们小组测量长是7、宽是5、高是2，把它们乘起来是70，体积是70cm3

师：真了不起，你们能测出那么大长方体的体积

师：同学们真了不起，用小正方体测出了长方体的体积，在这个测量过程中你有什么发现吗？

生：我发现长方体的体积就是体积单位的数量

生：我发现要测量长方体的体积可以只测量它的长、宽、高就可以

生：我发现“长方体的体积=长×宽×高”

……

师：怎样测量长方体的体积更简单？

生：用“长×宽×高”计算体积更简单

师：大家发现的就是长方体的体积计算公式（补充板书：公式），大家齐读一遍

生：“长方体的体积=长×宽×高”

师：现在可以怎样求长方体的体积？

生：“长方体的体积=长×宽×高”

师：还需要用体积单位去测量吗？

生：不需要

师：那就让我们把桌面上1cm3的小正方体收在书桌里

生：收学具……

㈢完善符号系统（符号表征）

师：（指黑板上的“长方体”）我想求它的体积怎么办？

生：测量长、宽、高各是多少，再乘起来

师：如果长是a、宽是b、高是h，它的体积V等于多少

生：V=a×b×h（板书）

师：在数学上，我们习惯用字母V表示体积，a表示长方体的长、b表示长方体的宽、h表示长方体的高

师：这就是长方体体积计算公式，以后我们可以用它来计算长方体的体积

师：那正方体的体积怎样求？

生：“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”

师：你怎么想的？

生：长方体的体积=长×宽×高，正方体是特殊的长方体，正方体的体积=棱长×棱长×棱长

师：正方体的体积公式用字母怎样表示

生：V=a×a×a

师：非常好，还能更简单一些吗

生：V=a3

师：有个正方体（课件出示）棱长2cm，它的体积是多少？

生：正方体的体积是8cm3

师：有不同意见吗

生：应该是6cm3

师：怎么回事？

生：6cm3不对，他算成2×3了，应该是2×2×2=8

师：一时大意算错了，但他提醒我们运用公式要仔细，谢谢你！

㈣统一长方体和正方体的体积计算公式

师：大家观察（黑板上的长方体），“a×b”在这里求的是什么

生：长方体的底面积

师：长方体底面的面积就是它的底面积（板书：底面积），如果知道长方体的底面积和高（课件出示）可以求它的体积吗？（前后桌可以讨论一下）

生：可以求体积，因为“底面积=长×宽”，“底面积×高”就相当于“长×宽×高”

师：你真了不起，都会推理了

师：其实这种方法刚才同学们已经用过了，底面积也可以表示“下面一层的小方块数量”（课件）

师：正方体的体积可以用“底面积×高”来计算吗？

生：不可以，正方体没有高

师：有不同意见吗？

生：正方体的长、宽、高都是棱长，正方体的高就是棱长

师：你的推理太清楚了，大家听明白了吗

生：明白

师：老师把你们的结论记下来，“长方体或正方体的体积=底面积×高”

师：谁能用字母表示这个统一的体积计算公式

生：V=sh

师：s表示（底面积），在数学上，面积一般都用s表示

三、运用模型，拓展提升

㈠变式练习

师：同学们真了不起，这么短的时间就发现了长方体和正方体的体积计算公式

师：想不想利用我们发现的体积公式解决几个问题

师：现在我想让大家计算礼品盒的体积，如果大家都会算，就把礼物送给同学们

师：同学们拿出练习卡看第一题（课件），现在我们分成两组计算：

女同学计算长方体这样放时的体积（课件）

男同学注意，你们计算长方体这样放时的体积（课件）

生：计算……

师：我们先看看女同学的计算结果

女：体积是3000cm3（展台）

师：是这样吗

生：是

师：我们再听听男同学的计算结果

男：体积是3000cm3

师：诶！别抄袭女同学的

生：我们没抄

师：(指课件)我没标出长、宽、高，你们怎么计算体积

师：我如果这样放呢（变换长方体位置）

男：长方体的体积和它怎样摆放没关系，怎么摆放都是用长、宽、高乘起来

师：哎呀，冤枉男同学了，对不起，礼物送给大家，下课发给同学们

㈡开放练习

师： 中国有句俗话“来而不往非礼也”，老师送你们礼物，你们也得帮老师解决个问题

师：老师想用纸壳儿制作一个体积是12cm3的长方体教具，你能帮王老师设计一下吗，它的长、宽、高都是整厘米？

师：思考一会儿（同桌可以商量）

师：有设计好的可以举手

生：长3cm、宽2cm、高2cm（老师这样记录“3×2×2”你明白吗？）

师：还有和它不同的吗

生：长2cm、宽2cm、高3cm

生：长4cm、宽3cm、高1cm

生：长12cm、宽1cm、高1cm

……（分类板书）

师：足够了，谢谢同学们帮老师设计这么多体积是12cm3的长方体

师：老师把你们的方案输入电脑，看制作的长方体和你们想象的一样吗（课件：四种长方体）

师：同学们设计那么多长方体，怎么只做出4种不同的长方体……

生：有的长方体是重复的，长、宽、高只要还是那三个数，长方体就还是同一个长方体，它们只是位置变了体积没变

师：你的发现让老师佩服，你同样是抓住了问题的关键——“位置变了、体积不变”

㈢拓展练习

师：关于长方体体积的知识在生活中非常多

（课件）机场行李箱的规格是“90×65×50”

师：你明白是什么意思

生：长是90cm、宽是65cm、高是50cm

师：有位王先生携带的行李是这样的，合格吗？

生：合格，体积不超

生：不合格，太高了

生：把它放倒了不就行了吗

师：分析的有道理，这么说，王先生的行李是合格的

师：但是有位洋先生在机场却遇到麻烦（课件），他带了一个长方体纸箱，尺寸是这样（课件），可是机场不让带，他想体积也不超，为什么不让带（课件：规定尺寸），同学们知道什么原因吗？

生：长方体纸箱太长了

师：但体积不超啊

生：体积不超也不行，太长了

师：还真让你说对了

师：我们看他带的什么，怎么这么长（课件），洋先生是位撑杆跳高运动员，他要到另一个城市比赛，他就把长杆装在长方体纸箱里（课件）

师：看来机场给出的这个规格，不只是对体积有要求，长、宽、高也不能超

四、总结提升

师：数学太有用了，它能方便我们的生活，今天大家发现的长方体和正方体的体积计算公式就让我们的测量变得更简单了，其实像这样的测量过程原来我们也经历过

师：还记得我们在二年级时是怎么测量一条线段长度的吗？（课件），我们在一条线段上数长度单位

师：三年级时我们学习了如何测量长方形的面积（课件），我们先数面积单位，后来发现长方形的面积可以计算……

师：今天我们又学习了如何测量长方体的体积（课件），开始我们还是数体积单位，后来同学们发现长方体的体积也可以计算……

师：在这样的测量过程中，你有什么发现吗？（都是先干什么……）

生：我发现它们都是先“数”再“算”

师：同学们不但善于观察，而且善于总结

师：以后我们还要继续学习怎样求圆柱体积，大家可以回去慢慢思考

师：已经下课了，让我们起立和所有听课老师招招手，说声再见