三角形中位线定理 三角形中位线证明4种

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

利用中位线定理可以证明线段平行，线段的倍分关系

常用结论

根据三角形中位线定理可以推出以下常用结论，如图D、E、F分别是三边的中点：

①三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形

即△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，这四个三角形的面积都是△ABC面积的四分之一。

②三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。

由于DE=AC/2，EF=AB/2，DF=BC/2，

所以△DEF的周长=DE+EF+DF=AC/2+AB/2+BC/2=△ABC的周长的一半

③任意两条中位线的夹角等于它所对的三角形顶角。

即∠DEF=∠A，∠DFE=∠B，∠EDF=∠C，导角时经常用到这个结论。

④三角形内中线和与它相交的中位线互相平分。

如图中线AE与中位线DF互相平分，可以根据四边形ADEF是平行四边形得到此结论。

⑤顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形

如图，EFGH分别是四边形ABCD各边中点，则中点四边形EFGH是平行四边形。

中点四边形EFGH的周长=AC+BD

中点四边形EFGH的面积=四边形ABCD面积的一半

特殊情况：

当四边形ABCD的对角线相等时，即AC=BD时，中点四边形EFGH是菱形

当四边形ABCD的对角线垂直时，即AC⊥BD时，中点四边形EFGH是矩形

当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，即AC与BD垂直且相等时，中点四边形EFGH是正方形

常用辅助线

①如果题目中出现中点，那么应该想到构造中位线

• 构造另一个中点得到中位线
• 过该中点作平行线得到中位线(初二根据平行无法证明另一个中点，适合初三时使用)

例题，如图正方形ABCD，AC交BD于点O，∠BDC的角平分线交AC于点F，交BC于点E，求证BE=2OF。

要证明的是线段的二倍关系，容易想到中位线。这里O是BD中点，那么我们尝试构造中位线。

方法一：作DE中点H，连接OH，则OH是△DBE的中位线，即BE=2OH，BE∥OH。接下来证明OF=OH即可。

导角，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2，所以∠3=∠4。BE∥OH所以∠4=∠5，得到∠3=∠5，所以OF=OH，即BE=2OF。

方法二：延长DF至点G，使FG=DF，连接BG，则OF是△DBG的中位线，即BG=2OF，BG∥OF。接下来证明BG=BE即可。

导角，BG∥OF所以∠DBG=90°，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2，所以∠3=∠4。且∠4=∠5，得到∠3=∠5，所以BG=BE，即BE=2OF。

②若题目中有多个中点，那么极有可能是连接中点，通过中位线来解题。

例题，如图四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E、F分别是AC、CD中点，连接BE、BF，若BE=BF，求证：2∠BAC+∠CAD=60°。

简证，由于E、F都是中点，可以想到连接EF得到中位线，这样可以得到线段的数量关系，以及平行线，有利于导角从而证明角的关系。

连接EF，则EF//AD，EF=1/2 AD，易知EF=BE=BF，所以△BFE是等边三角形，∠BEF=60°。

所以2∠BAC+∠CAD=∠BEC+∠CEF=∠BEF=60°。